Appunti scientifici sull'elettronica di potenza: semiconduttori di tipo P/N

In questo tutorial studieremo il comportamento di un semiconduttore in cui entrambe le impurità (pentavalente e trivalente) sono presenti in modo uniforme, a differenza di una giunzione pn che presenta invece una discontinuità di drogaggio.

1. Doping dominante

Drogamo un campione di silicio con impurità pentavalenti e trivalenti come atomi di fosforo e alluminio. L'equazione che regola l'andamento della fugacità z(T) in funzione della temperatura è la seguente:

Il potenziale chimico è: μ (T) = kBT ln z (T). Nell'equazione (1), i singoli termini sono: I = numero di elettroni nella banda di conduzione, II = numero di elettroni nei livelli energetici nel bandgap centrato in ?e(un), III=numero di lacune nella banda di valenza, IV=numero di elettroni nei livelli energetici nel bandgap centrato in ?e(d). Gli interi N(a)((0)), N(d)((0)) sono rispettivamente il numero totale di impurità pentavalenti (accettori) e trivalenti (donatori), mentre le funzioni Ce,h (T) sono state definite in un tutorial precedente e dipendono da T(3/2). Possiamo ora introdurre le quantità adimensionali:

A differenza del caso esaminato nel tutorial precedente (accettori), non vi è alcun vantaggio computazionale nello studiare il comportamento dell'equazione (1) nel limite di bassa temperatura, in cui il termine I è trascurabile. Infatti, l'equazione funzionale risultante è ancora di terzo grado e non è risolvibile analiticamente. Nonostante la maggiore complessità dell'equazione (1), il software Mathematica non presenta l'arrotondamento (come invece è avvenuto in una simulazione precedentemente analizzata1). Ad esempio, per Na(0)= 100, Nd(0)= 1, si ottiene l'andamento rappresentato in Figura 1. Questo comportamento, oltre ad essere tipico dei semiconduttori di tipo p, è conforme alla definizione di energia di Fermi εF = μ (0) poiché in questo caso il valore assunto dal potenziale chimico a T = 0 coincide con l'energia del livello più alto occupato a quella temperatura (in realtà dovremmo considerare i livelli energetici centrati in ?e(d), ma la popolazione di quest'ultima è trascurabile poiché Nd(0) ? noa(0).

Figura 1: Andamento del potenziale chimico di un campione di silicio drogato con atomi accettori Na(0)=100, Nd(0)=1 e atomi donatori rispettivamente

Notazione 1 – Ricordiamo che nelle nostre simulazioni i valori assunti dalle varie grandezze (Na(0), Nd(0), T) sono indicativi.

Come previsto, per Na(0) ? Nd(0) il semiconduttore è effettivamente di tipo p, poiché il numero di elettroni in ?εd è trascurabile. Nel caso opposto, cioè, Nd(0) ? noa(0), il semiconduttore è in realtà di tipo n, come conferma il grafico di Figura 2, dove, anche per un dato intervallo di temperatura, il potenziale chimico assume valori positivi (comportamento tipico di un metallo).

Figura 2: Andamento del potenziale chimico di un campione di silicio drogato con Na(0)=1, Nd(0)=100. Per T → 0 il potenziale chimico si assesta vicino a ?εdQuesto comportamento è tipico dei semiconduttori di tipo n

Infine, per Nd(0) = Na(0), ci aspettiamo il comportamento tipico dei semiconduttori intrinseci. Ciò è confermato dal grafico mostrato nella Figura 3. La Figura 4 riassume i singoli casi.

Figura 3: Andamento del potenziale chimico di un campione di silicio drogato con Na(0)=Nd(0)=100. Per T → 0 il potenziale chimico si assesta vicino a ?εg/2. Questo comportamento è tipico dei semiconduttori intrinseci

Figura 4: Potenziale chimico nei tre casi possibili

2. Conducibilità

Sulla base dell'algoritmo sviluppato in un numero precedente, la fugacità z(T) calcolata dall'equazione (1) per un campione di silicio di volume unitario ci consente di determinare la conduttività:

Le concentrazioni di elettroni e lacune, cioè le quantità n(T), p(T), sono legate alla fugacità attraverso le equazioni:

Nell'equazione (3) abbiamo spiegato la dipendenza dalla temperatura per le varie grandezze, eccetto per le mobilità μe, μh di elettroni e lacune. In unità ues, la mobilità è misurata in cm2 V?1 s?1; nel caso del Si, μe = 1600 cm2 V?1 s?1, μh = 400 cm2 V?1 s?1Il valore assoluto della carica dell'elettrone è e = 1.60217733 × 10? 19 C.

Nella Figura 5 riportiamo l'andamento della conduttività in scala logaritmica in funzione di 1/T, dove le oscillazioni irregolari sono dovute all'arrotondamento di Mathematica. Il ginocchio corrisponde all'esaurimento del materiale corrispondente alla completa ionizzazione degli accettori.

Gli altri casi vengono studiati in modo simile (Nd(0)? noa(0), Nd(0) = Na(0)).

Figura 5: Andamento di σ (1/T) in scala logaritmica per Na(0)=100, Nd(0)=1

Conclusione

L'analisi computazionale appena svolta ci consentirà in lavori successivi di studiare il comportamento dell'arseniuro di gallio (GaAs) come semi-isolante utilizzato nella creazione di circuiti elettronici. Restate sintonizzati…