Notas científicas sobre eletrônica de potência: semicondutores tipo P/N

Neste tutorial, estudaremos o comportamento de um semicondutor no qual ambas as impurezas (pentavalente e trivalente) estão presentes uniformemente, diferentemente de uma junção pn que apresenta uma descontinuidade de dopagem.

1. Dopagem dominante

Dopamos uma amostra de silício com impurezas pentavalentes e trivalentes, como átomos de fósforo e alumínio. A equação que regula a tendência da fugacidade z(T) em função da temperatura é a seguinte:

O potencial químico é: μ (T) = kBT ln z (T). Na equação (1), os termos individuais são: I = número de elétrons na banda de condução, II = número de elétrons nos níveis de energia na banda proibida centrada em ?e(a), III=número de lacunas na banda de valência, IV=número de elétrons nos níveis de energia na banda proibida centrada em ?e(d). Os inteiros N(a)((0)), N(d)((0)) são respectivamente o número total de impurezas pentavalentes (aceitador) e trivalentes (doador), enquanto as funções Ce,h (T) foram definidas em um tutorial anterior e dependem de T(3/2). Agora podemos introduzir as quantidades adimensionais:

Diferentemente do caso examinado no tutorial anterior (aceitadores), não há vantagem computacional em estudar o comportamento da equação (1) no limite de baixa temperatura, no qual o termo I é desprezível. De fato, a equação funcional resultante ainda é de terceiro grau e não pode ser resolvida analiticamente. Apesar da maior complexidade da equação (1), o software Mathematica não apresenta o arredondamento (como ocorreu em uma simulação previamente analisada1). Por exemplo, para Na(0)= 100, Nd(0)= 1, obtemos a tendência mostrada na Figura 1. Este comportamento, além de ser típico de semicondutores do tipo p, está de acordo com a definição de energia de Fermi εF = μ (0) pois neste caso o valor assumido pelo potencial químico em T = 0 coincide com a energia do nível mais alto ocupado naquela temperatura (na verdade, deveríamos considerar os níveis de energia centrados em ?e(d), mas a população deste último é insignificante, uma vez que Nd(0) ? Na(0).

Figura 1: Tendência do potencial químico de uma amostra de silício dopada com átomos aceitadores Na(0)=100, Nd(0)=1 e átomos doadores respectivamente

Notação 1 – Lembramos que em nossas simulações os valores assumidos pelas diversas grandezas (Na(0), Nd(0), T) são indicativos.

Como esperado, para Na(0) ? Nd(0) o semicondutor é efetivamente do tipo p, uma vez que o número de elétrons em ?εd é desprezível. No caso oposto, ou seja, Nd(0) ? Na(0), o semicondutor é na verdade do tipo n, como confirma o gráfico da Figura 2, onde, mesmo para uma determinada faixa de temperatura, o potencial químico assume valores positivos (comportamento típico de um metal).

Figura 2: Tendência do potencial químico de uma amostra de silício dopada com Na(0)=1, Nd(0)=100. Para T → 0 o potencial químico se estabiliza próximo de ?εd. Este comportamento é típico de semicondutores do tipo n

Finalmente, para Nd(0) = Na(0), esperamos o comportamento típico de semicondutores intrínsecos. Isso é confirmado pelo gráfico mostrado na Figura 3. A Figura 4 resume os casos individuais.

Figura 3: Tendência do potencial químico de uma amostra de silício dopada com Na(0)=Nd(0)=100. Para T → 0 o potencial químico se estabiliza próximo de ?εg/2. Este comportamento é típico de semicondutores intrínsecos

Figura 4: Potencial químico nos três casos possíveis

2. Condutividade

Com base no algoritmo desenvolvido em edição anterior, a fugacidade z(T) calculada pela equação (1) para uma amostra de silício de volume unitário permite determinar a condutividade:

As concentrações de elétrons e lacunas, ou seja, as quantidades n(T), p(T), estão relacionadas à fugacidade através das equações:

Na equação (3) explicamos a dependência da temperatura para as várias quantidades, exceto para as mobilidades μe, μh de elétrons e buracos. Em unidades ues, a mobilidade é medida em cm2 V?1 s?1; no caso de Si, μe = 1600 cm2 V?1 s?1, μh = 400 cm2 V?1 s?1. O valor absoluto da carga do elétron é e = 1.60217733 × 10? 19 C.

Na Figura 5, relatamos a tendência da condutividade em escala logarítmica como uma função de 1/T, onde as oscilações irregulares são devidas ao arredondamento do Mathematica. O joelho corresponde à exaustão do material correspondente à ionização completa dos aceitadores.

Os outros casos são estudados de forma semelhante (Nd(0)? Na(0), Nd(0) = Na(0)).

Figura 5: Tendência de σ (1/T) em escala logarítmica para Na(0)=100, Nd(0)=1

Conclusão

A análise computacional recém-realizada nos permitirá em trabalhos subsequentes estudar o comportamento do arsenieto de gálio (GaAs) como um semi-isolante usado na criação de circuitos eletrônicos. Fique ligado…