Notas científicas sobre electrónica de potencia: semiconductores tipo P/N

En este tutorial estudiaremos el comportamiento de un semiconductor en el que ambas impurezas (pentavalente y trivalente) están presentes de manera uniforme, a diferencia de una unión pn que en cambio presenta una discontinuidad de dopaje.

1. Dopaje dominante

Dopamos una muestra de silicio con impurezas pentavalentes y trivalentes como átomos de fósforo y aluminio. La ecuación que regula la tendencia de la fugacidad z(T) en función de la temperatura es la siguiente:

El potencial químico es: μ (T) = kBT ln z (T). En la ecuación (1), los términos individuales son: I = número de electrones en la banda de conducción, II = número de electrones en los niveles de energía de la banda prohibida centrada en ?ε(a), III=número de huecos en la banda de valencia, IV=número de electrones en los niveles de energía en la banda prohibida centrada en ?ε(d)Los números enteros N(a)((0)), N(d)((0)) son respectivamente el número total de impurezas pentavalentes (aceptoras) y trivalentes (donadoras), mientras que las funciones Ce,h (T) se han definido en un tutorial anterior y dependen de T(3/2). Ahora podemos introducir las cantidades adimensionales:

A diferencia del caso examinado en el tutorial anterior (aceptores), no hay ventaja computacional en estudiar el comportamiento de la ecuación (1) en el límite de baja temperatura, en el que el término I es despreciable. De hecho, la ecuación funcional resultante sigue siendo de tercer grado y no se puede resolver analíticamente. A pesar de la mayor complejidad de la ecuación (1), el software Mathematica no presenta el redondeo (como en cambio ocurrió en una simulación analizada previamente).1). Por ejemplo, para Na(0)= 100, Nd(0)= 1, obtenemos la tendencia que se muestra en la Figura 1. Este comportamiento, además de ser típico de los semiconductores de tipo p, cumple con la definición de energía de Fermi. εF = μ (0) ya que en este caso el valor que asume el potencial químico en T = 0 coincide con la energía del nivel más alto ocupado a esa temperatura (en realidad deberíamos considerar los niveles de energía centrados en ?ε(d), pero la población de este último es insignificante ya que Nd(0) ? nortea(0).

Figura 1: Tendencia del potencial químico de una muestra de silicio dopada con átomos aceptores Na(0)=100, Nd(0)=1 y átomos donantes respectivamente

Notación 1 – Le recordamos que en nuestras simulaciones los valores asumidos por las distintas magnitudes (Na(0), Nd(0), T) son indicativos.

Como era de esperar, para Na(0) ? Nd(0) el semiconductor es efectivamente de tipo p, ya que el número de electrones en ?εd es despreciable. En el caso opuesto, es decir, Nd(0) ? nortea(0), el semiconductor es en realidad del tipo n, como lo confirma el gráfico de la Figura 2, donde, incluso para un rango de temperatura dado, el potencial químico adquiere valores positivos (comportamiento típico de un metal).

Figura 2: Tendencia del potencial químico de una muestra de silicio dopada con Na(0)=1, Nd(0)=100. Para T → 0, el potencial químico se sitúa cerca de ?εdEste comportamiento es típico de los semiconductores de tipo n.

Finalmente, para Nd(0) = Na(0), esperamos el comportamiento típico de los semiconductores intrínsecos. Esto se confirma mediante el gráfico que se muestra en la Figura 3. La Figura 4 resume los casos individuales.

Figura 3: Tendencia del potencial químico de una muestra de silicio dopada con Na(0)=Nd(0)=100. Para T → 0, el potencial químico se sitúa cerca de ?εg/2. Este comportamiento es típico de los semiconductores intrínsecos.

Figura 4: Potencial químico en los tres casos posibles

2. Conductividad

Basándonos en el algoritmo desarrollado en un número anterior, la fugacidad z(T) calculada por la ecuación (1) para una muestra de silicio de volumen unitario nos permite determinar la conductividad:

Las concentraciones de electrones y huecos, es decir, las cantidades n(T), p(T), están relacionadas con la fugacidad a través de las ecuaciones:

En la ecuación (3) hemos explicado la dependencia de la temperatura para las distintas magnitudes, excepto para las movilidades μe, μh de los electrones y huecos. En unidades ues, la movilidad se mide en cm2 V?1 s?1; en el caso de Si, μe = 1600 cm2 V?1 s?1, μh = 400 cm2 V?1 s?1El valor absoluto de la carga del electrón es e = 1.60217733 × 10? 19 C.

En la Figura 5 se muestra la tendencia de la conductividad en escala logarítmica en función de 1/T, donde las oscilaciones irregulares se deben al redondeo de Mathematica. El punto de inflexión corresponde al agotamiento del material correspondiente a la ionización completa de los aceptores.

Los demás casos se estudian de forma similar (Nd(0)? nortea(0), Nd(0) = Na(0)).

Figura 5: Tendencia de σ (1/T) en escala logarítmica para Na(0)=100, Nd(0)=1

Conclusión

El análisis computacional que acabamos de realizar nos permitirá en trabajos posteriores estudiar el comportamiento del arseniuro de galio (GaAs) como semiaislante utilizado en la creación de circuitos electrónicos. ¡Seguid atentos!